Aims & Scope

판구조론의 성립 이후 섭입 작용과 중앙해령의 확장은 전지구적으로 일어나는 상부 해양판과 하부 맨틀간의 열화학적 순환(thermochemical circulation)으로 설명될 수 있다. 이러한 열화학적 순환의 가장 큰 부분을 담당하는 맨틀 거동은 온도 및 압력에 의존하는 점성도가 매우 높은 유체의 거동으로 근사 될 수 있다(Schubert et al., 2001). 점성도가 매우 높은 유체의 거동은 압축성 층류 유동(compressible laminar flow)으로 표현될 수 있으며 이 유동의 지배방정식(governing equations)은 질량, 모멘텀 그리고 에너지의 보존을 지시하는 편미분 방정식인 연속(continuity), 모멘텀(momentum) 그리고 에너지(energy) 방정식으로 다음과 같이 표현된다(Schubert et al., 2001).

ρ는 밀도(kg/m³), t는 시간(s), 는 속도 벡터(m/s), P는 압력(Pa), 는 중력가속도 벡터(m/s²), τ는 차응력 텐서(deviatoric stress tensor) (Pa), C_p는 등압열용량 (J/kg.K), T는 온도(K), α는 열팽창률(/K), k는 열전도도(J/m.K.s), φ는 단위 부피당 점성소산(viscous dissipation) (J/m³.s), H는 단위 질량당 내부 열에너지 발생률(J/kg.s)이다. 점성소산은 유체의 거동으로 발생하는 전단응력에 의하여 유체의 모멘텀이 열에너지로 전환되는 양을 지시하며 다음과 같이 정의된다.

만약 맨틀이 거동이 없으며 화학적으로 균질하다면(homogeneous) 맨틀의 밀도는 온도와 압력에만 의존하는 함수로써 나타낼 수 있으며 이를 기준 상태(reference state)로 정의한다. 맨틀 거동(대류)은 위치에 따른 밀도 차이에 의하여 발생하며 밀도 차이는 기준 상태에서 벗어난 온도와 압력에 의하여 발생한다. 그러므로 실제 맨틀의 밀도는 기준 상태를 지시하는 함수와 기준 상태에서 벗어난 온도와 압력에 의하여 발생한 밀도의 차이를 선형적으로 합하여 나타낼 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 아래와 같이 서술된다.

위 수식에서 , 그리고 는 기준 상태에 해당하는 밀도, 온도 그리고 압력을 각각 지시하며 ρ', T ' 그리고 P'는 기준 상태에서 벗어난 밀도, 온도 그리고 압력을 각각 지시한다. 맨틀의 거동이 발생하지 않을 때 기준 상태 밀도는 Adams-Williamson 상태방정식(Birch, 1952)으로 나타낼 수 있다.

ρ₀는 표면에서의 맨틀의 밀도이며 H_T는 압축성 유체의 온도 규모 높이(temperature scale height of compressible liquid)이며 Γ는 그루네이센(Grüneisen) 변수(parameter)로써 다음과 같이 각각 정의된다.

K_s는 체적압축성 등엔트로피 탄성률(isentropic modulus of bulk compressibility)이다. 위에서 제시된 지배방정식을 변수인 맨틀의 밀도, 온도 및 압력을 대입하여 풀면 맨틀의 거동을 계산할 수 있으며 다음은 맨틀 거동 지배방정식에서 유도된 여러 가지 맨틀 거동 근사식들에 대하여 설명하고자 한다.

(Anelastic Liquid Approximation, ALA)

맨틀 거동 지배방정식은 맨틀이 다음에 제시되는 가정들을 만족하므로 보다 간략하게 서술될 수 있다. (Schubert et al., 2001) 첫째, 맨틀의 속도에 비하여 맨틀 밀도의 변화량이 매우 작으므로 연속방정식의 좌변항은 0으로 근사 될 수 있다. 둘째, 맨틀의 가속도는 매우 작으므로 맨틀은 마하 수(Mach number)가 사실상 0이며 프란틀 수(Prandtl number)가 10²² 이상으로 매우 큰 유체에 해당한다. 이 때문에 모멘텀 방정식의 좌변항도 역시 0으로 근사 될 수 있다. 이러한 두 가지 가정을 지배방정식에 적용하면 비탄성 유체 근사(anelastic liquid approximation, ALA)로 일컬어지는 다음의 방정식이 도출된다.

지배방정식을 효율적으로 계산하기 위하여 무차원화(non-dimensionalization)를 다음의 관련식들을 이용하여 수행한다.

ΔT는 맨틀의 상하표면 온도차, d는 맨틀의 두께(m), κ는 열확산률(heat diffusivity, m²/s), μ는 역학점성도(dynamic viscosity, Pa.s), ρ₀는 맨틀 표면의 밀도(kg/m³)이다. 무차원화를 수행한 후 표기의 편의를 위하여 '를 제외하고 지배방정식을 서술하면 다음과 같다.

무차원화는 소산 수(dissipation number) Di와 레일리히 수(Rayleigh number) Ra를 도출시키는데 각각 다음과 같이 정의된다.

무차원화는 밀도에 해당하는 기준 상태식에도 적용되므로 기준 상태식은 다음과 같이 재정의된다.

y'는 맨틀의 깊이를 맨틀 두께로 무차원화시킨 값으로써 맨틀 표면에서는 0, 맨틀 바닥에서는 1이다. 이 기준 상태식은 맨틀의 밀도는 깊이에 선형적으로 비례하여 증가함을 지시한다. 맨틀의 밀도 증가는 단열압축(adiabatic compression)에 의한 것으로 근사 될 수 있는데 단열압축에 의하여 생성되는 온도의 기준 상태식은 다음과 같이 유도된다.

T₀는 맨틀 표면의 온도이다. 이 식은 밀도와 마찬가지로 맨틀의 온도는 깊이가 증가함에 따라 단열압축에 의하여 증가함을 지시한다.

(Truncated Anelastic Liquid Approximation, TALA)

일부 수치 모델링 패키지의 경우 기술적 문제 등의 이유로 역학압력 요소를 모멘텀 방정식에 고려하는데 어려움이 존재한다(King et al., 2010). 이 경우 비탄성 유체 근사의 모멘텀 방정식에서 역학압력 요소( )를 생략하여 절단 비탄성 유체 근사(truncated anelastic liquid approximation, TALA)를 이용한다. 나머지 방정식은 비탄성 유체 근사와 동일하다.

(Extended Boussinesq Approximation, EBA)

확장 부시네스크 근사(extended Boussinesq approximation, EBA)는 절단 비탄성 유체 근사에서 기준 상태의 밀도를 상수로 가정하여 다시 정의한 근사식으로써 지배방정식은 다음과 같이 정의된다.

ν_y는 y방향으로의 속도 벡터이다. 이 지배방정식은 깊이에 따른 밀도의 증가 효과가 크지 않은 상대적으로 얕은 깊이의 맨틀 거동을 근사 하는데 유용하다.

(Boussinesq Approximation, BA)

부시네스크 근사(Boussinesq Approximation, BA)은 비압축성 유체의 거동을 설명하는 가장 간결화된 지배방정식이다. 이 근사는 확장 부시네스크 근사의 에너지 방정식에서 소산 수를 0으로 가정함으로써 얻어진다. 그러므로 이 가정은 점성 소산에 의한 열의 발생이 크지 않을 것으로 기대되는 맨틀 거동에 적합하며 다음과 같이 서술된다.

위에서 설명된 지배방정식에 대한 보다 자세한 내용은 과거의 연구 문헌을 참고함으로써 얻을 수 있다(Jarvis and McKenzie, 1980; Schubert et al., 2001; King et al., 2010). 전술하였듯이 맨틀의 거동에 가장 가까운 지배방정식은 비탄성 유체 근사이다. 그러나 기술적 한계 혹은 모델의 간결화 등의 이유로 여전히 부시네스크 근사와 같은 간결화된 지배방정식을 이용한 모델이 널리 쓰이고 있다.

(Anelastic Liquid Approximation, ALA)

먼저 비탄성 유체 근사 지배방정식을 사용하여 수행한 벤치마크에 대하여 레일리히 수와 소산 수를 변화시킨 결과에 대하여 살펴보자. 표 2는 비탄성 유체 근사 지배방정식을 사용하여 수행한 벤치마크 결과를 넛셀 수(Nu #), 대류하는 맨틀의 상부 표면에서의 최대 속도(V_surf-max), 대류하는 맨틀의 상부 표면에서의 선적분 값(V_surf), 대류 세포 전체의 평균 온도(<T>), 대류 세포 전체에서 점성소산에 의하여 발생한 열에너지(<φ>), 마지막으로 대류 세포 전체에서 맨틀이 중력에 대하여 한 일(<W>)을 보여준다. 물론 여기서 제시된 값들은 모두 무차원화된 값이다. 각 값들의 계산 방법은 본 연구와 비교 대상이 되는 기존 벤치마크 연구를 참고하길 바란다(King et al., 2010).

소산 수와 상관없이 모든 실험에서 레일리히 수가 증가하면 대류의 강도가 증가함이 확인되었다(그림 2; 표 2). 레일리히 수가 증가함에 따라 대류의 강도가 증가한다는 것은 이미 널리 알려진 사실이다(e.g., Blankenbach et al., 1989; King et al., 2010). 그림 2는 소산 수가 0.25으로 고정되어 있으며 레일리히 수가 10⁴, 10⁵ 그리고 10⁶으로 각각 10배씩 증가하였을 때의 대류 세포의 온도 분포를 나타내고 있다. 이미 알려진 것과 같이 레일리히 수가 증가할수록 대류 세포의 상부 및 하부에 존재하는 열경계층(thermal boundary layer)의 두께가 감소하는 것이 확인되며 이는 넛셀 수의 증가로 잘 표현된다(넛셀 수 4.410, 9.229 그리고 14.867이 레일리히 수 10⁴, 10⁵, 그리고 10⁶을 사용한 실험 결과에 각각 대응한다). 그리고 대류의 강도가 강해짐에 따라 맨틀 대류 속도가 증가하는데 이는 레일리히 수의 증가와 함께 상부 표면에서의 대류의 최고 속도 및 선적분 값이 증가하는 것으로 잘 표현된다(V_surf-max의 값인 58.065, 252.509 그리고 749.419이 레일리히 수 10⁴, 10⁵, 그리고 10⁶을 사용한 실험 결과에 각각 대응하며, V_surf의 값인 38.826, 184.406 그리고 540.730이 레일리히 수 10⁴, 10⁵, 그리고 10⁶을 사용한 실험 결과에 각각 대응한다). 점성소산에 의한 열에너지 (<φ>)는 레일리히 수의 증가와 함께 선형적인 증가 관계를 보인다. 그리고 맨틀이 중력에 대하여 한 일(<W>)도 레일리히 수의 증가와 함께 선형적인 증가 관계를 보이는데 점성소산에 의한 열에너지와 거의 비슷한 값을 보인다. Jarvis and McKenzie (1980)는 점성소산에 의한 열에너지와 맨틀이 중력에 대하여 한 일이 정확하게 서로 상쇄한다는 것을 보였는데 본 연구에서 두 일이 서로 잘 상쇄된다. 또한 이 논문 후반부(단락 3.2)에서 제시될 메쉬의 해상도(resolution) 테스트는 본 실험에서 나타난 오차가 메쉬 해상도에 의한 것일 뿐 지배방정식의 오류에 의한 것이 아님을 보인다.

Fig. 2. 
Temperature distributions in the modeling domain using the anelastic liquid approximation (ALA). Dissipation number is fixed as 0.25 but Rayleigh numbers are varied as 10⁴, 10⁵ and 10⁶. The single clockwise convection cell is obtained in the experiments using Rayleigh numbers of 10⁴ and 10⁵. The temperature distribution of the experiment using a Rayleigh number of 10⁶ shows count-clockwise convection cell but the temperature distribution is vertically inverted for a comparison among the temperature distributions. The black arrows indicate direction and vigor of convecting mantle. For a better view, the scale factors for black arrows are differently used as 0.0020, 0.0004 and 0.0002 for 2a, 2b and 2c, respectively. As Rayleigh number increases, upwelling and downwelling as well as the thermal boundary layers become thinner. The unit of temperature is K without non-dimensionalization.

레일리히 수가 증가함에 따라 대류의 강도가 증가하는 것과 달리, 소산 수의 증가는 대류의 강도를 약화시킨다(그림 3). 이는 각 벤치마크 결과 값들이 소산 수가 증가함에 따라 감소되는 것으로 잘 나타난다. 예를 들어, 소산 수가 2.0인 경우, 대류의 강도는 급격하게 약화되어 레일리히 수가 10⁴인 경우 매우 약한 대류만이 관찰된다. 넛셀 수가 1에 근접하는 경우 맨틀 내부의 열전달(heat transfer)이 거의 대부분 대류가 아닌 전도에 의해서만 이루어짐을 뜻한다(넛셀 수가 1인 경우 맨틀 대류는 발생하지 않으며, 전도만이 열전달을 가능하게 한다). 이는 대류의 강도와 양의 관계를 가지는 레일리히 수와 달리 소산 수는 음의 관계를 가지는 것을 지시한다.

Fig. 3. 
Temperature distributions in the modeling domain using anelastic liquid approximation (ALA). All the Rayleigh numbers are fixed as 2×10⁵ but dissipation number is varied as 0.50, 1.00, 1.50 and 2.00. With increases in dissipation number, vigor of mantle convection is substantially weakened, expressed sluggish mantle convection and layered temperature distribution with depth. The experiments using higher dissipation number tends to develop multiple convection cells such as two or three convection cells. The black arrows indicate direction and vigor of convecting mantle. For a better view, the scale factors for black arrows are differently used as 0.0002, 0.0004, 0.0008 and 0.0016 for 3a, 3b, 3c and 3d, respectively. The black arrows in 3c and 3d indicate two convection cells; the experiments developing three convection cells are not shown here. The experiment using a dissipation number of 2.00 apparently develops strong layered temperature distributions with depth. The unit of temperature is K without non-dimensionalization.

본 실험에서 획득한 결과를 기존의 벤치마크 결과와 비교하였다. 일부의 경우를 제외하고는 기존 벤치마크 결과와 잘 합치하며 특히 King et al. (2010) 연구에서 ConMan 프로그램(King et al., 1990)을 사용한 필자의 VT (Virginia Tech)의 연구 결과와 1% 이내의 상대오차를 보일 정도로 매우 잘 맞는 것을 확인하였다. 그리고 두 개의 대류 세포를 발달시키는 실험의 경우 Citcom 프로그램(Moresi et al., 1996)을 사용한 CU (University of Colorado)의 연구 결과와도 잘 맞는 것을 확인할 수 있었다. 소산 수가 큰 실험에서 상대오차가 다소 커지는 것을 확인할 수 있으나 대부분 1~4% 정도로 작다.

(Truncated Anelastic Liquid Approximation, TALA)

여기서는 절단 비탄성 유체 근사 지배방정식을 사용한 실험 결과에 대하여 요약하였다. 절단 비탄성 유체 근사 지배방정식은 비탄성 유체 근사 지배방정식의 모멘텀 방정식에서 역학압력 요소만을 제거한 근사이다. 일반적으로 역학압력 요소는 다른 요소들에 비하여 상대적으로 유체의 거동에 미치는 영향이 작다고 알려져 있다(King et al., 2010). 그 영향을 정량적으로 평가하기 위하여 절단 비탄성 유체 근사 지배방정식을 사용한 실험과 비탄성 유체 근사 지배방정식을 사용한 실험 결과를 비교하였다. 비교가 가능한 결과 값들의 상대오차를 도시한 그림 4에서 알 수 있듯이, 레일리히 수가 작은 경우에 역학압력 요소에 의한 차이가 상대적으로 큼을 알 수 있다. 그러나, 레일리히 수가 증가함에 따라 상대오차는 감소하는 경향을 보인다. 넷셀 수, 점성소산에 의한 열에너지 그리고 맨틀이 중력에 대하여 한 일간의 상대오차 감소는 레일리히 수가 증가할 경우에 특히 두드려지며 레일리히 수가 5×10⁵ 이상인 경우 상대오차는 2% 이내로써 매우 작아진다. 지구 맨틀의 레일리히 수가 약 10⁷ 정도로 추정되므로(Schubert et al., 2001), 이 실험은 절단 비탄성 유체 근사 지배방정식이 비탄성 유체 근사 지배방정식으로 근사 될 수 있음을 지시한다. 실제로 표 3에서 관찰되듯이 점성소산에 의한 열에너지는 맨틀이 중력에 대하여 한 일에 비하여 상대오차가 0.1~6% 내외이다. 위와 같이 기존 실험 결과(King et al., 2010)와 비교하였을 때 비록 소산 수가 큰 실험에서는 상대오차가 증가하는 경향을 보였으나 대부분 1~4% 정도로 작으며 소산 수 2.0와 작은 레일리히 수를 사용한 실험(예, 레일리히 수: 10⁴)에서만 상대오차가 8~13% 정도로 크게 나타남을 확인할 수 있었다. 그러나 전반적으로 본 연구의 실험 결과는 기존 벤치마크의 결과와 서로 유사함을 확인할 수 있었다.

Fig. 4. 
Relative errors between the experiments using anelastic liquid approximation (ALA) and truncated anelastic liquid approximation (TALA) with varying Rayleigh and dissipation numbers. All the parameters except for the mean temperatures of the modeling domain show a clear tendency to decreasing relative errors between ALA and TALA with increases in Rayleigh number. Contrary to the effect of Rayleigh number, increase in dissipation number contributes to large relative errors between ALA and TALA. Missed data corresponding to smaller Rayleigh numbers are due to much higher relative errors between ALA and TALA such as 37.19% for Rayleigh number of 10⁴ in 4c. The other missed data corresponding to higher Rayleigh number are due to time-dependent convection or different style of convection (e.g., one cell vs. two cells).

(Extended Boussinesq Approximation, EBA)

확장 부시네스크 근사는 절단 비탄성 유체 근사에서 맨틀이 비압축성이라는 가정을 도입한 것으로 맨틀의 단열압축에 의한 단열 온도 곡선은 존재하지 않는다. 이러한 가정 때문에 실제 단열 압축이 존재하는 맨틀의 온도 구조를 근사하기 위하여 맨틀의 포텐셜(potential) 온도만을 고려한 확장 부시네스크 근사를 적용한 실험을 수행한 다음 그 결과에 단열압축에 의해 발생하는 단열 온도 곡선을 선형적으로 더하는 방법이 널리 사용되었다(e.g., Billen and Hirth, 2007; Lee and King, 2011). 그러나 이 연구는 콤솔 멀티피직스 프로그램의 벤치마크에 목적을 두고 있기 때문에 이러한 차이를 직접 비교하는 연구는 수행하지 않았다. 그러므로 여기서는 확장 부시네스크 지배방정식을 사용한 실험 결과와 앞서 설명된 실험 결과와 직접 비교하지 않았다.

그러나 레일리히 수와 소산 수가 맨틀 대류에 미치는 효과는 위에서 언급한 실험결과와 유사하다. 레일리히 수가 증가함에 따라 맨틀 대류의 강도는 증가하며 소산 수가 증가함에 따라 맨틀 대류의 강도는 감소한다(표 4). 특히 소산 수가 2.0인 경우, 레일리히 수 10⁴와 2×10⁴를 사용한 실험에서는 맨틀 대류가 발생하지 않는데 이는 점성소산이 유체의 거동을 방해하는 효과가 극대화된 경우에 해당한다. 주목할 점은 확장 부시네스크 근사는 점성소산에 의하여 발생한 열에너지와 맨틀이 중력에 대하여 한 일간의 오차가 매우 작다는 것인데 이는 레일리히 수와 소산 수가 큰 값을 사용한 실험에서도 잘 관찰된다. 실험 결과는 기존 벤치마크 결과와 비교되었으며 대부분의 경우 1% 이내의 상대오차를 보인다는 것을 확인할 수 있었다(소산 수 1.5 및 2.0을 사용한 결과는 기존 벤치마크 결과에서 보고되지 않았으므로 비교하지 않았다).

(Boussinesq Approximation, BA)

마지막으로 가장 일반적으로 쓰이는 유체 거동의 근사된 지배방정식인 부시네스크 근사 지배방정식을 이용하여 벤치마크를 수행하였다. 표 5에서 알 수 있듯이, 부시네스크 근사는 다른 근사 지배방정식을 이용한 실험과 비교하여 가장 강한 맨틀 대류를 발생시킨다. 그리고 다른 근사 지배방정식은 레일리히 수가 커질수록 대류 세포가 두 개 혹은 세 개로 수렴하거나 아니면 시간의존성(time-dependent) 대류를 보이는 것과 대조적으로 부시네스크 근사는 큰 레일리히 수를 사용한 실험에서도 한 개의 대류 세포로 안정적으로 수렴하는 것을 관찰할 수 있었다. 이 실험 결과도 기존 벤치마크 결과와 비교되었으며 모두 1% 이내의 상대오차를 보였다.